REMEDIAL PAT



SOAL REMEDIAL PAT 

 Perbandingan trigonometri


contoh 1 Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….
 Contoh Soal Perbandingan Trigonometri
Mencari panjang RQ:
    \[ \overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0) \]
    \[ |RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18} \]
  Mencari panjang RP:
    \[ \overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2) \]
    \[ |RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]
Mencari besar sudut R:
    \[ \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R \]
    \[ (3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R \]
    \[ 3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
    \[ 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R \]
    \[ Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0} \]
    \[ Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut R adalah 90o.



contoh 2
Perhatikan ilustrasi berikut.



Pembahasan soal un perbandingan trigonometri
Mencari nilai t:
    \[ Tan 45^{o} = 1 \]
    \[ \frac{t}{x + 10} = 1 \]
    \[ t = x + 10 \]
Mencari nilai x:
    \[ Tan 60^{o} = \sqrt{3} \]
    \[ \frac{x+10}{x} = \sqrt{3} \]
    \[ x + 10 = \sqrt{3} x \]
    \[ \sqrt{3} x - x = 10 \]
    \[ x \left( \sqrt{3} - 1 \right) = 10 \]
    \[ x = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} \]
Kalikan dengan akar sekawan:
    \[ x = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \]
    \[ x = \frac{10 \left( \sqrt{3} + 1 \right)}{2} \]
    \[ x = 5 \left( \sqrt{3} + 1 \right) \]
    \[ x = 5 \sqrt{3} + 5 \]
Jadi, tinggi tiang bendera (t) adalah
    \[ t = 10 + x \]
    \[ = 10 + 5 \sqrt{3} + 5 \]
    \[ = 15 + 5 \sqrt{3} \]
Jawaban: B


contoh 3
Tentukan nilai dari :
sin (-30°)
cos (-135°)
tan (-330°)

Jawab :
sin (-30°) = -sin 30°
sin (-30°) = -

cos (-135°) = cos 135°  (K.II cos negatif)
cos (-135°) = cos (180° − 45°)
cos (-120°) = -cos 45°
cos (-120°) = -√2

tan (-330°) = -tan 330°  (K.IV tan negatif)
tan (-330°) = -{tan (360° − 30°)}
tan (-300°) = -{-tan 30°}
tan (-300°) = tan 30°
tan (-300°) = √3

contoh 4
 Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….
 
Soal UN Trigonometri 

Mencari panjang AC:
    \[ \overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4) \]
    \[ |RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8} \]
  Mencari panjang AB:
    \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]
    \[ |RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Mencari besar sudut A:
    \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A \]
    \[ (-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A \]
    \[ -4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
    \[ 0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A \]
    \[ Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0} \]
    \[ Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o} \]
Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Sudut berelasi

contoh 5
Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab : 
cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2

contoh 6
Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari

Jawab :
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :


contoh 7
Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

contoh 8

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Aturan sinus cosinus dan luas segitiga

contoh 9
soal aturan sin cos tan no 2 



contoh 10

soal aturan sin cos tan no 3  

contoh 11
 Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc
jawab : 
L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²


contoh 12
 Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

 contoh 13
  Perhatikan  △ABC disamping !
     Berapakah panjang sisi AC?
Berapa panjang sisi AC ?


Pembahasan :

AB = c dan AC = b
besar <C = 180° - (75°+ 60°) = 45°

  b     =      c  
Sin B      Sin C

  b         =     20  
Sin 60°     Sin 45°

b  =  20 x Sin 60°  =   20 x  ½√3
            Sin 45°               ½√2

b  =  20√3  x √2    =   10√6cm
           √2      √2

Persamaan trigonometri

contoh 14

\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}
Maka:
\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}
x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B
x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B
x_2 k \times 120, k \epsilon B
Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:
60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B
k = 0 \rightarrow x_1 = 60 atau x_2 = 0
k = 1 \rightarrow x_1 = 180 atau \rightarrow x_2 = 120
k = 2 \rightarrow x_1 = 300 atau \rightarrow x_2 = 240
k = 3 \rightarrow x_2 = 360
Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:
(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)


contoh 15
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

 contoh 16

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}
Pembahasaan:
\sin 3x = \cos 2x
\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)
Sehingga,
3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5)
x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})
Atau,
3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})
3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ}
k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}
K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}
k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}
Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})

 

Contoh 17

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi
Pembahasan
\sin (x+\frac{\pi}{4})
Dibuat kedalam bentuk
2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)
Dengan
(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
Menjadikan
\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0
Sehingga
(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)
2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)
x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)
atau
(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)
2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)
x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)
Himpunannya,
k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}
k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}
\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}
k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}
Himpunan penyelesaiannya adalah:
(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})



Grafik trigonometri


contoh 18
Perhatikan grafik di bawah!



Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Pembahasan:
Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

    \[ y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c \]
Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):
Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang - \frac{pi}{6} sampai dengan \frac{5 \pi }{6} memuat setengah periode.
    \[ \frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right) \]
    \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6} \]
    \[ \frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6} \]
    \[ k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1 \]
Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).
Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).
Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh \frac{\pi}{6} ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + {\pi}{6}.
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:
    \[ y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
   
\[ y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \]
Jawaban: A

Perhatikan gambar di bawah!

contoh 19

Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….
  A.       y = – 2 Sin(3x + 45)o
  B.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  C.       y = – 2 Sin(3x – 45 )o
  D.       y = 2 Sin(3x + 15)o
  E.       y = 2 Sin(3x – 45 )o
Pembahasan:
Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:
  1. Nilai Amplitudo: A = 2
    2.  
  2. Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
        \[ \frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o} \]
        \[ \frac{360^{o}}{k} = 120^{o} \]
        \[ k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3 \]
    3.  
  3. Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.
  Persamaan umum fungsi sinus adalah:
    \[ y = A \cdot Sin \; k \left(x \pm \alpha \right)^{o} \pm C \]
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:
    \[ y = 2 \cdot Sin \; 3 \left(x - 15 \right)^{o} \]
    \[ y = 2 \cdot Sin \; \left(3x - 45 \right)^{o} \]
Jawban: E

contoh 20

Perhatikan grafik fungsi trigonometri di bawah!
Soal Grafik Fungsi Trigonometri
Nilai amplitudo dari grafik fungsi trigonometri di atas adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; 2 \pi \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; \pi \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{3}{2} \pi \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; - \frac{3}{2} \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{3}{2} \]
Pembahasan:
Nilai amplitudo adalah simpangan terjauh dari titik kesetimbangan dalam gelombang periodik. Berdasarkan gambar grafik fungsi trigonometri yang sesuai grafik pada di atas adalah \frac{3}{2}.
Jawaban: E



Nama: Aqillah Angelina w
kelas : X IPS 3

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

Gambar
   AQILLAH ANGELINA W   . Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah. . . Jawaban : C Pembahasan :  2. Persamaan bayangan kurva y = x² – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180°], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah ….  A. y = x² – 2x – 3  B. y = x² – 2x + 3 C. y = x² + 2x + 3 D. x = y² – 2y – 3 E. x = y² + 2y + 3 Jawaban : D Pembahasan :  Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri. pencerminan terhadap garis y = -x 3. Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks   adalah….  A. x² + y² – 6x – 4y- 3 = 0 B. X² + y² – 6x + 4y- 3 = 0 C. x² + y² + 6x – 4y- 3 = 0 D. x² + y² – 4x + 6y- 3 = 0 E. x² + y² + 4x – 6y+ 3 = 0 Jawaban : A Pembahasan :  4. T 1  dan T 2  adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan  Ditentukan T = T 1  o T 2  , maka transformasi T b...
Baca selengkapnya

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOAL

Gambar
    PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOAL   Pertumbuhan Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh pertumbuhan yaitu perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk. Rumus pertumbuhan linear: Rumus pertumbuhan eksponensial: Dimana:  nilai besaran setelah   periode  nilai besaran di awal periode  tingkat pertumbuhan  banyaknya periode pertumbuhan Bunga Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya : Bunga Tunggal Bunga tunggal adalah bunga yang...
Baca selengkapnya