matematika trigonometri

TRIGONOMETRI

 PENGALAMAN

hai teman-teman...

perkenalkan nama saya aqillah angelina w 

pada kesempatan kali ini saya akan menceritakan pengalam saya saat saya mempelajari matematika 

mungkin dari banyak kalian tidak menyukai dengan pelajaran yang satu ini termasuk saya, tetapi sebenarnya pelajaran ini sangat amat menyenangkan apabila kita menerima dengan senang hati juga dan tidak berfikiran negatif terlebih dahulu tentang pelajaran ini .

banyak dari kalian yang diawal sudah berfikir seperti "ah matematika susah","matematika banyak rumusnya ribet" dan banyak lagi. tetapi jika kita mencintai dulu pelajarannya kita mengenal lebih dalam pasti kalian akan suka. 

ketika saya belajar matematika saya banyak mengalami kesulitan dari saya yang tidak mengerti rumus rumusnya sampai kesulitan dalam memahami materi.maka dari itu kita harus memperhatikan penjelasan guru lebih fokus dan juga bisa dengan menonton vidio pembelajaran yang membuat kita tidak merasa bosan. selain itu kita juga bisa mempelajari cara cepat atau trik-trik untuk menghadapi soal soal tersebut. 

menurut saya pelajaran yang paling saya sukai yaitu trigonometri.

kenapa trigonometri? karna materi tersebut memiliki konsep yang mudah dipahami dengan kita menghafal rumus dan mengerti dari konsep itu kita akan mudah mengerjakan soal-soal. 

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat, derajat ke radian

Contoh Soal 1

Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

                            

Penyelesian:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

Contoh Soal 2

Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian:

0,45 radian = 0,45 x 180°/π

0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π

0,89 radian = 51,02°

Contoh Soal 3

Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan dudut istimewa (600 , 300 , 450 )

1. Tentukan luas segitiga:

Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

2. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:

a+b=10

a=10-b

Aturan Sinus

a/sin A = b/sin B

10-b/ sin 30 = b/sin 45

10-b/1/2= b/√2/2

√2/2(10-b)=b/2

(10√2-b√2)/2=b/2

5√2-b√2/2=b/2

5√2=b√2/2 + b/2

5√2=(b√2+b)/2

5√2=b(√2+1)/2

b=5√2 x 2/(√2+1)

b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)

b=20-10√2

b=10(2-√2)

3. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin² α)² – sin² α= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α= cos⁴ α – cos² α

 

4. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:

Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)

sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13

A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)

A + B = 180 – C

sin (A + B) = sin (180 – C)

sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)

sin C = sin A.cos B + cos A.sin B

sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13

sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 20°

tan 40°

cos 53°

Jawab :

sin 20° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50

cos 53° = cos (90° − 37°)

= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 143°

sin 233°

cos 323°

Jawab :

Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.

tan 143° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 233° = sin (270° − 37°)

= -cos 37°

Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 323° = cos (360° − 37°)

= cos 37°

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Contoh soal 1

Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah ….

Pembahasan:

   

   

  

 
Contoh soal 2

Perhatikan gambar di bawah!

Sisno diminta mengukur tinggi tiang bendera menggunakan klinometer. Saat pertama berdiri dengan melihat ujung tiang bendera, terlihat pada klinometer menunjuk pada sudut 60^o. Kemudian ia bergerak menjauhi tiang bendera sejauh 10 meter dan terlihat pada klinometer sudut 45^o. Tinggi tiang bendera adalah ….

Perhatikan ilustrasi berikut.

Mencari nilai t:

   

   

Mencari nilai x:

 

Kalikan dengan akar sekawan:
 
 

Jadi, tinggi tiang bendera (t) adalah

   

 
 

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

Contoh 1

Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60^o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Pembahasan:

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

   

   

    

Contoh 2

Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30^o di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah ….

 

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Jadi, luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah

   

   

   

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

contoh 1

pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b dan sisi c berturut-turut adalah 8 cm dan 10 cm jika sudut A adalah 37 derajat, maka tentukanlah luas segitiga tersebut..

pembahasan

Dik: b = 8 cm, c = 10 cm, A = 37 derajat

Dit: L = ...?

L = ½ bc sin A

L= ½ (8) (10) sin 37 derajat

L= 40(3/5)

L= 24 cm

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum

Contoh 1

Bagilah sudut lancip α menjadi 2 bagian, sehingga hasil perkalian kosinus-kosinusnya mencapai nilai maksimum.

Tentukan nilai maksimum itu.

Pembahasan

Misalkan 2 bagian sudut adalah x dan α-x, maka f(x)=cos⁡x cos⁡(α-x). Berdasarkan rumus trigonometri 2\cos a \cos \beta = \cos (a+\beta) + \cos (a -\beta), maka :

f(x) = \frac{1}{2}\langle \cos(x+(a - x)) + \cos(a -(a - x))\rangle

f(x) = \frac{1}{2}\langle \cos a + \cos (2x - a)\rangle

f(x) akan maksimum jika \cos (2x - a) = 1, sehingga

f_{maks} = \frac{1}{2}\langle \cos (a) + \cos(2x - a)\rangle = \frac{1}{2}\langle \cos (a) + 1\rangle

contoh 2

1. Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum dan periode setiap fungsi berikut ini :

     (a) y = 5.sin (3x – 60^o)              (b) y = 3.cos(2x + 45^o)

     (c) y = 6.tan2x                           (d) y = 4 + 2cos5x

Jawab