PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

 

SIFAT-SIFAT TURUNAN

1. Aturan Konstanta

   Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f'(x) = 0 yakni D_x(k) = 0
   

2. Aturan Fungsi Identitas
   Jika f(x) = x maka f'(x) = 1 yakni D_x(x) = 1
   
3. Aturan Pangkat
   

   Jika f(x) = xⁿ, dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f(x) = nx^n-1 yakni D_x(xⁿ) = nx^n-1
   

4. Aturan Kelipatan Konstan
   

   Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensial maka (kf)’ = k f'(x) yakni D_x[k f(x)] = k D_x[f(x)]
   

5. Aturan Jumlah
   

   Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) yakni D_x[f(x) + g(x)] = D_x[f(x)] + D_x[g(x)]
   

6. Aturan Selisih
   

   Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f – g)(x) = f(x) – g(x) yakni D_x[f(x) – g(x)] = D_x[f(x)] – D_x[g(x)]
   

7. Aturan Hasil Kali
   

   Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka (f . g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) yakni D_x[f(x)g(x)] = D_x[f(x)]g(x) + f(x)D_x[g(x)]
   

8. Aturan Hasil Bagi
   

   Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensial maka yakni D_x

   

   Contoh Soal Turunan

   1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

   • f(x) = 8
   • g(x) = 3x + 5
   • h(x) = 6x³
   • k(x) = 3x^5/3
   • m(x) = (3x² + 3)⁴

   Pembahasan

   • f’(x) = 0
   • g’(x) = 3
   • h’(x) = 6 (3) x^{3 – 1} = 18x²
   • k’(x) = 3 (5/3) x^{(5/3) – 1} = 5x^2/3
   • m’(x) = 4 . (3x² + 3)^{4 – 1} . 6x = 24x . (3x² + 3)³

   2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

   f(x) = (3x + 2) . (2x² – 1)

   Pembahasan

   Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2x² – 1

   f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

   f’(x) = 3 . (2x² – 1) + (3x + 2) . (4x)

   f’(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² + 8x – 3

   3. Diberikan sebuah fungsi ordo 2 seperti di bawah ini

   

   Tentukan nilai f(0) + 3f’(1)

   Pembahasan

   Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat memasukkan nilai 0 ke dalam fungsi tersebut.

   

   Setelah Anda, mendapatkan nilai f(0). Kita dapat mengerjakan turunan fungsi hasil bagi menggunakan salah sifat turunan.

   

   Untuk menggunakan rumus tersebut, kita dapat menggunakan pemisalan dan turunannya seperti di bawah ini.

   U = x2 + 3 ; U’ = 2x

   V = 2x + 1 ; V’ = 2

   Kemudian, kita bisa memasukkan pemisalan tersebut ke dalam rumus turunan yang sebelumnya serta kita dapat secara langsung memasukkan f’x(1).

   

   Maka, hasil f(0) + 3f’(1) = 3 + 3(0) = 3

   4. Tentukan hasil turunan f(x) = (x² + 2x + 3)(3x + 2)

   Pembahasan

   Sama seperti soal sebelumnya, Untuk mengerjakan soal turunan dalam bentuk perkalian, kita dapat menggunakan rumus sifat turunan serta menggunakan pemisalan dalam fungsi tersebut seperti di bawah ini.

   F’(x) = u’v + uv’

   U = x² + 2x + 3 ; U’ = 2x + 3

   V = 3x + 2 ; V’ = 3

   F’(x) = u’v + uv’

   F’(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x² + 2x + 3)(3)

   F’(x) = 6x² + 13x + 6 + 3x² + 6x + 9

   F’(x) = 9x² + 19x + 15

   Sehingga bentuk akhir F’(x) adalah 9x² + 19x + 15

   5. Jika terdapat f(x) = (2x-1)²(x+2). Berapakah nilai f’x(2)

   Pembahasan

   Untuk mengerjakan soal ini, kita bisa menggunakan sifat turunan fungsi f’(x) = u’v + v’u untuk mendapatkan hasil akhir. Sehingga kita dapat melakukan pemisalan kembali.

   F’(x) = u’v + uv’

   U= (2x-1)² = 4x² – 4x + 1 ; U’ = 8x – 4

   V = x + 2 ; V’ = 1

   F’(x) = u’v + uv’

   F’(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x² – 4x + 1)(1) ; kita dapat memasukkan nilai 2 seperti di soal

   F’(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)² – 4(2) + 1)(1))

   F’(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

   F’(2) = 96 + 9 = 105

   Sehingga nilai akhir F’(2) adalah 105

   6. Tentukan sebuah garis singgung pada kurva y= -2x² + 6x + 7 yang tegak lurus dengan garis x – 2y +13 = 0

   Pembahasan

   Disebutkan di dalam soal bahwa terdapat 2 garis yang saling tegak lurus, sehingga kita dapat mengasumsikan bahwa kedua garis memiliki kemiringan tertentu. Kita dapat menentukan nilai m₁ dan m₂ dari kedua garis.

   m₁ merupakan slope dari garis y= -2x² + 6x + 7. Untuk mencari nilai m₁, dapat dilakukan dengan cara menurunkan fungsi y= -2x² + 6x + 7.

   m₁ = y’(x) = -4x + 6

   m₂ merupakan slope dari x – 2y +13. Untuk mencari nilai m₂, kita harus mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi y.

   x – 2y +13 = 0

   x + 13 = 2y

   y = 0,5x + 6.5

   m₂ = y’(x) = 0,5

   Dikarenakan kedua garis saling tegak lurus, maka nilai m₁ x m₂ = -1.

   m₁ x m₂ = -1

   (-4x + 6)0,5 = -1

   -2x + 3 = -1

   -2x =  -4

   X = 2

   Kita masukkan ke dalam persamaan m₁ sehingga di dapatkan nilai m₁ = -2. Setelah menemukan nilai x, kita masukkan nilai tersebut ke fungsi y sehingga di dapatkan nilai y = 11.

   Untuk membuat sebuah garis singgung, rumus yang digunakan adalah (y-y₁) = m₁(x – x₁).

   (y – 11) = -2 (x – 2)

   Y – 11 = -2x +4

   Y = -2x + 15

   Garis singgung adalah y+2x-15 = 0

   7. Terdapat sebuah box tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi memiliki luas sebesar 512 cm². Berapakah panjang rusuk agar volumenya memiliki nilai maksimum

   Pembahasan

   Pada soal tersebut, dijelaskan bahwa box tidak memiliki tutup. Sehingga, box tersebut terdiri dari 4 sisi dan 1 alas. Anggap sisi alas adalah s dan tinggi sisi adalah t. Kita dapat menuliskan persamaan box seperti di bawah ini.

   512 = luas alas + 4 sisi box

   512 = s.s + 4.s.t
   512 = s² + 4st
   512 – s² = 4st

   

   Setelah mendapatkan t, kita bisa mencari volume dari box tersebut

   V = s³ = s² . t

   

   Untuk mendapatkan volume maksimum, kita dapat menurunkan persamaan volume di atas

   V’(s) = 0

   

   S² = 170,67 cm²

   S = 13,07 cm

   Sehingga, panjang s yang dibutuhkan agar volumenya maksimum adalah 13,07 cm.

   
   

   Soal Nomor 1
   Apabila $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
   A. $x-x^{-2}$
   B. $x+x^{-2}$
   C. $2x+x^{-2}+1$
   D. $2x-x^{-2}+1$
   E. $2x+x^{-2}$

   Pembahasan

   Gunakan aturan turunan dasar.
   $\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$

   
   Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$

   
   (Jawaban E)

   [collapse]

   Soal Nomor 2
   Jika $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$

   , maka $g^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
   A. $-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
   B. $-x^3+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$
   C. $\frac{1}{x^2}+x^2-2$
   D. $\frac{1}{x^2}+3x^2-2$
   E. $\frac{1}{x^2}+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$

   Pembahasan

   Gunakan aturan turunan dasar.
   $\begin{array}{cccc}g\left(x\right)& =\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}& & \\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}& & \\ g^{\prime }\left(x\right)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{1/2-1}& & \\ & =-x^{-2}+3x^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}{x}^{-1/2}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}& & \ast \end{array}$

   
   Catatan: $\ast \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
   Jadi, hasil dari $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$

   
   (Jawaban A)

   [collapse]

   
   

   Soal Nomor 3
   Jika $R\left(t\right)=t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}$

   , maka $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
   A. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{3}{2\sqrt{t}}$
   B. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2\sqrt{t}}$
   C. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
   D. $\frac{2}{3}\sqrt{t}-\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$
   E. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

   Pembahasan

   Diketahui
   $\begin{array}{cc}R\left(t\right)& =t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}=t\cdot t^{1/2}+\frac{1}{t\cdot t^{1/2}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$

   
   Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
   $\begin{array}{cc}\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}& =\frac{3}{2}{t}^{3/2-1}-\frac{3}{2}{t}^{-3/2-1}\\ & =\frac{3}{2}{t}^{1/2}-\frac{3}{2}{t}^{-5/2}\\ & \\ & =\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}\end{array}$
   Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

   
   (Jawaban C)

   [collapse]

   
   

   Soal Nomor 4
   Turunan pertama dari $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}$

    adalah $f^{\prime }\left(x\right)$. Nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
   A. $-5$                 C. $4$                 E. $10$
   B. $2$                    D. $5$

   Pembahasan

   Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$

   .
   $$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}\\ & =4(\underset{u}{\underset{}{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }\left(x\right)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underset{}{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-\frac{4}{(x-3{)}^2}+\frac{6}{x^2}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
   $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(1\right)& =-\frac{4}{(\left(1\right)-3{)}^2}+\frac{6}{{\left(1\right)}^2}\\ & =-\frac{4}{4}+\frac{6}{1}\\ & =-1+6=5\end{array}$
   Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=5$

   
   (Jawaban D)

   [collapse]

   
   
   

   Soal Nomor 5
   Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$

    adalah $\cdots \cdot$
   A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
   B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
   C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
   D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
   E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

   Pembahasan

   Diketahui
   $\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$

   
   Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
   $\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
   Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 6
   Diberikan $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$

   . Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
   A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
   B. $1$                     D. $4$

   Pembahasan

   Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$

   .
   Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
   $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
   Untuk $r=1$, didapat
   $f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$

   
   (Jawaban C)

   [collapse]

   Soal Nomor 7
   Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$

   . Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
   A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
   B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
   C. $0$ atau $2$

   Pembahasan

   Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$

   .
   Turunan pertama dari $y$ adalah
   $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
   Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
   $\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
   Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$

   .
   (Jawaban D)

   [collapse]

   Soal Nomor 8

   Jika $f\left(m\right)=4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}$

   , maka nilai $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
   A. $\frac{11}{4}$                 C. $\frac{7}{4}$                  E. $\frac{1}{4}$
   B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{5}{4}$

   Pembahasan

   Diketahui
   $\begin{array}{cc}f\left(m\right)& =4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}\end{array}$

   
   Turunan pertama dari $f\left(m\right)$ adalah
   $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(m\right)& =0+\frac{3}{4}{m}^{3/4-1}+3\end{array}$$\begin{array}{c}\cdot \frac{2}{3}\end{array}$$\begin{array}{c}\frac{}{}{m}^{2/3-1}\\ & =\frac{3}{4}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & =\frac{3}{4\sqrt[4]{4m}}+\frac{2}{\sqrt[3]{3m}}\end{array}$
   Untuk $m=1$, diperoleh
   $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt[4]{41}}+\frac{2}{\sqrt[3]{31}}=\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4}$
   Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{11}{4}$

   
   (Jawaban A)

   [collapse]

   Soal Nomor 9
   Jika turunan pertama dari $y=(x^2+1)(x^3-1)$

    adalah $y^{\prime }=a{x}^4+b{x}^2+cx$ dengan $a,b,c\in Z$, maka nilai dari $abc=\cdots \cdot$
   A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
   B. $-30$                   D. $30$

   Pembahasan

   Diketahui
   $\begin{array}{cc}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1\end{array}$

   
   Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
   $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x\end{array}$
   Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
   Catatan: $Z$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
   Jadi, $abc=5\left(3\right)(-2)=-30$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 10
   Turunan pertama dari $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$

    adalah $\cdots \cdot$
   A. $x(15x+2)(3x-1{)}^2$
   B. $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
   C. $x(9x+2)(3x-1{)}^2$
   D. $x(18x+2)(3x-1{)}^2$
   E. $x(18x-2)(3x-1{)}^2$

   Pembahasan

   Diketahui $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$

   .
   Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
   Misalkan
   $$\begin{array}{cc}u& =x^2⟹u^{\prime }=2x\\ v& =(\underset{p}{\underset{}{3x-1}}{)}^3⟹v^{\prime }=3(3x-1{)}^2\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{3}}\right)=9(3x-1{)}^2\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
   $\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =\left(2x\right)(3x-1{)}^3+(x^2\left)\right(9(3x-1{)}^2)\\ & =(3x-1{)}^2(2x(3x-1)+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(6x^2-2x+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(15x^2-2x)\\ & =x(15x-2)(3x-1{)}^2\end{array}$
   Jadi, turunan pertama dari $f\left(x\right)$ adalah $x(15x-2)(3x-1{)}^2$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 11
   Jika $y=x\sqrt{2x^2+3}$

   , maka $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
   A. $(4x^2-3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
   B. $(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
   C. $2x(2x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
   D. $x(2x+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
   E. $(2x^2+3{)}^{1/2}$

   Pembahasan

   Diketahui
   $\begin{array}{cc}y& =x\sqrt{2x^2+3}\\ & =\sqrt{x^2(2x^2+3)}\\ & =\sqrt{2x^4+3x^2}\\ & =(\underset{u}{\underset{}{2x^4+3x^2}}{)}^{1/2}\end{array}$

   
   Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu
   $\begin{array}{cc}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{1}{2}(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\cdot (\underset{u^{\prime }}{\underset{}{8x^3+6x}})\\ & =\frac{1}{2}\left(2\right(4x^3+3x\left)\right)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =(4x^3+3x)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =x(4x^2+3)\cdot \frac{1}{x}(2x^2+3{)}^{-1/2}\\ & =(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}\end{array}$
   Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 12
   Jika $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$

    dengan $x\ne 1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
   A. $\frac{6x-6}{\sqrt{(2x-1{)}^3}}$
   B. $\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$
   C. $2x\sqrt{1-x^2}-\frac{x(x^2+3)}{\sqrt{1-x^2}}$
   D. $-\frac{9}{4\sqrt{(3x+2{)}^3}}$
   E. $\frac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$

   Pembahasan

   Diketahui $f\left(x\right)=\sqrt{\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}}$

   .
   Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi.
   Misalkan:
   $u=x+2⟹u^{\prime }=1$
   $v=x-1⟹v^{\prime }=1$
   Turunan dari $p$ adalah
   $\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{1(x-1)-(x+2)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x-1-x-2}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{(x-1{)}^2}\end{array}$
   Sekarang, akan dicari turunan $f\left(x\right)$ menggunakan aturan rantai.
   $$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& ={\left(\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}\right)}^{1/2}\\ ⟹f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)}^{-1/2}\cdot \underset{p^{\prime }}{\underset{}{\frac{-3}{(x-1{)}^2}}}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\cdot \frac{-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}\end{array}$$Jadi, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 13
   Diketahui $f\left(x\right)=|x|$

   . Jika turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(999\right)=\cdots \cdot$
   A. $0$                  C. $\frac{1}{999}$                E. $999$
   B. $1$                  D. $2$

   Pembahasan

   Diketahui $y=f\left(x\right)=|x|$

   .
   Akan dicari turunan dari $y$.
   $\begin{array}{cc}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =2x\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{x}{y}=\frac{x}{|x|}\end{array}$.
   Untuk $x=999$, diperoleh
   $f^{\prime }\left(999\right)=\frac{999}{|999|}=1$

   
   (Jawaban B)

   [collapse]

   Soal Nomor 14
   Turunan pertama dari $y=(2x+1{)}^5(x+1)$

    ditulis sebagai $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$ dengan $a,b,c,d$ bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d=\cdots \cdot$
   A. $20$                 C. $26$                 E. $29$
   B. $24$                 D. $27$

   Pembahasan

   Diketahui $y=(2x+1{)}^5(x+1)$

   .
   Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
   $$\begin{array}{cc}u& =(\underset{p}{\underset{}{2x+1}}{)}^5⟹u^{\prime }=5(2x+1{)}^4\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{2}}\right)=10(2x+1{)}^4\\ v& =x+1⟹v^{\prime }=1\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
   $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =10(2x+1{)}^4(x+1)+(2x+1{)}^5\left(1\right)\\ & =(2x+1{)}^4(10(x+1)+(2x+1))\\ & =(2x+1{)}^4(10x+10+2x+1)\\ & =(2x+1{)}^4(12x+11)\end{array}$
   Karena diketahui $y^{\prime }=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$, maka kita dapatkan $a=2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$, sehingga $a+b+c+d=2+1+12+11=26$

   
   (Jawaban C)

   [collapse]

   Soal Nomor 15
   Turunan pertama dari invers fungsi $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$

    adalah $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
   A. $-2$                   C. $-\frac{1}{2}$                  E. $2$
   B. $-1$                   D. $\frac{1}{2}$

   Pembahasan

   Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$

   .
   Pertama, akan dicari invers fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.
   Misalkan $f\left(x\right)=y$.
   $\begin{array}{cc}y& =\frac{x-1}{2}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}\left(y\right)\\ 2x+1& =f^{-1}\left(x\right)\end{array}$
   Jadi, invers fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=2x+1$.
   Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=2$
   (Jawaban E)