NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN  

  nama: Aqillah angelina w (8) 

  kelas: XI IPS 3

Aplikasi materi turunan yang sering dibahas di sekolah adalah menentukan nilai stasioner suatu fungsi. Dalam materi fungsi naik dan fungsi turun, telah dibahas jika f′(x)>0

maka fungsi dikatakan naik dan jika f′(x)<0 maka fungsi dikatakan turun. Bagaimana jika ternyata turunan fungsi f′(x)=0?

Dari gambar di atas terlihat jika f′(x)=0 untuk x = a maka gradien garis singgung di titik tersebut adalah 0 (garis singgung sejajar dengan sumbu x). Akibatnya fungsi f(x) tidak naik maupun turun, keadaan inilah dikatakan f(x) mempunyai nilai stasioner di x = a dan nilai stasionernya adalah f(a). Nilai stasioner juga sering disebut dengan nilai kritis atau titik kritis

Dari uraian di atas diperoleh
Jika suatu fungsi y=f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f′(x)=0 maka f(a) merupakan nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a dan titik stasionernya adalah (a, f(a)).

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x2+2x−3!
Penyelesaian
f(x)=x2+2x−3
f′(x)=2x+2
Nilai stasioner f(x) diperoleh jika f′(x)=0
f′(x)=0
2x+2=0
2x=−2

  x=−1

Nilai stasionernya
f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=1−2−3=−4
Jadi, nilai stasioner fungsi f(x)=x2+2x−3 adalah -4 dan titik stasionernya adalah (-1, -4)

Nilai stasioner dalam beberapa fungsi tidak hanya satu atau tunggal, kadang kala kita juga akan mendapatkan dua nilai stasioner pada satu fungsi. Berikut adalah contoh fungsi tersebut

Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x3−12x!
Penyelesaian
f(x)=x3−12x
f′(x)=3x2−12
Nilai stasioner f(x) diperoleh jika f′(x)=0
f′(x)=0
3x2−12=0
3(x+2)(x−2)=0
x=−2 atau x=2

Nilai stasionernya
Untuk x=−2, →f(−2)=(−2)3−12(−2)=−8+24=16
Untuk x=2, →f(2)=(2)3−12(2)=8−24=−16
Jadi, nilai stasioner fungsi f(x)=x3−12x adalah -2 dan 2 serta titik stasionernya adalah (-2, 16) dan (2, -16)
 

Jika telah memahami nilai stasioner, selanjutnya akan dibahas mengenai jenis-jenis nilai stasioner.

Jenis-Jenis Nilai Stasioner

Terdapat tiga jenis nilai stasioner dari suatu fungsi, pertama nilai balik maksimum, nilai balik minimum dan nilai belok. Ketiga jenis nilai stasioner ini dapat digambarkan dalam grafik berikut

Nah pertanyaannya bagaimanakah caranya agar kita tahu suatu nilai stasioner suatu fungsi tersebut merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau nilai belok? Jika kita mengamati grafik yang disajikan maka, hal itu dapat dilakukan melalui perubahan nilai f′(x) dari fungsi f(x) dalam interval di kiri x < a, x = a, dan x > a. Dengan demikian kita akan mendapatkan

Jika perubahan nilai  f′(x) dari positif, nol, kemudian negatif maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai balik maksimum
Jika perubahan nilai  f′(x) dari negatif, nol, kemudian positif maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai balik minimum
Jika perubahan nilai  f′(x) dari positif, nol, kemudian kembali positif atau dari negatif, nol, dan kembali negatif maka maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai belok

Agar lebih memahaminya, berikut ini akan disajikan contoh soal dan pembahasanya

Contoh 3
Tentukan nilai stasioner dari fungsi f(x)=x2+6x+5 beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
f(x)=x2+6x+5
f′(x)=2x+6

Nilai stasioner f(x) diperoleh jika f′(x)=0
f′(x)=0
2x+6=0
2x=−6
x=−3
Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai f′(x) di sekitar x=−3, yang diperlihatkan oleh tabel berikut.

Karena perubahan nilai f′(x) dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

Contoh 4
Tentukan nilai stasioner dari fungsi f(x)=x3−3x2+2 beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
f(x)=x3−3x2+2
f′(x)=3x2−6x
Nilai stasioner f(x) diperoleh jika f′(x)=0
f′(x)=0
3x2−6x=0
3x(x−6)=0
x=0 atau x=6Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai f′(x) di sekitar x=0 dan x=6, yang diperlihatkan oleh tabel berikut.

Karena perubahan nilai f′(x) untuk nilai stasioner x=0 dari positif, nol, kemudian negatif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik maksimum
Karena perubahan nilai f′(x) untuk nilai stasioner x=6 dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

 

 Soal Nomor 1
Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$

, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$

(Jawaban C)

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$

. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$

, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$

tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$

. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$

(Jawaban B)

Soal Nomor 4
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

Pembahasan

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$

(Jawaban A)

Soal Nomor 5
Diberikan fungsi $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$

. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$

A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$

.
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$

tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

(Jawaban B)

Soal Nomor 6
Nilai-nilai $x$

dari fungsi $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{x^2+3}{x-1}$

. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$, sehingga
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}<0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{cc}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$-1<x<1\text{atau}1<x<3$

(Jawaban D)

Soal Nomor 7
Grafik fungsi $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$

akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\frac{1}{3}$                 E. $3$
B. $-\frac{1}{3}$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$

dan $f\left(x\right)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x-0)(x-2)& <0& & \\ x(x-2)& <0& & \\ x^2-2x& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2x$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+2x& >0& & \\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1& & \\ -3a{x}^2-2x& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $-\frac{1}{3}$ 
(Jawaban B)